১৯ একটি প্রাইম সংখ্যা,এটি অষ্টম প্রাইম সংখ্যা । কোন র‌্যান্ডম সংখ্যা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য হওয়া যথেষ্ট কঠিন। প্রাইম সংখ্যা হিসেবে ১৯ এর যথষ্ট গুরুত্ব রয়েছে- যেমন এটি হল একমাত্র প্রাইম সংখ্যা যাকে দুটি প্রাইম সংখ্যার কিউবের বিয়োগফল রূপে প্রকাশ করা যায়। সেসবে বিস্তারিত না যাওয়াই শ্রেয়।
১৯ দ্বারা যেসব সংখ্যা বিভাজ্য অর্থাৎ যারা ১৯ এর গুণিতক তাদের চেনার সত্যিকার অর্থে ভালো কোন উপায় নেই। ১৯ এর গুণিতক সংখ্যাগুলোর ক্ষেত্রে ‘এরা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য’ -এই ধর্ম ছাড়া অন্য কোন সহজে বোঝা যায় এমন কোন সাধারণ ধর্ম নেই । .

কোন সংখ্যা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা জানার জন্য যে উপায় আছে(মোটেও ভালো কোন উপায় নয়)-সেটিকে অবশ্য একটি সাধারণ ধর্ম হিসেবে বিবেচনা করা যায়। সেটি হল- কোন সংখ্যা যে ডিজিটগুলো নিয়ে গঠিত তার শেষ ডিজিটকে বাদ দিয়ে যে সংখ্যা তৈরি হয় তাকে ৯ দিয়ে গুন করে যে গুনফল পাওয়া যায় তা থেকে সর্বশেষ ডিজিটকে বিয়োগ দিলে যে রেজাল্ট পাওয়া যাবে সে রেজাল্ট যদি ১৯ দ্বারা বিভাজ্য হয় ( সে রেজাল্টকেও একই ভাবে আবার পরীক্ষা করে দেখা যেতে পারে) তবে উক্ত সংখ্যাটি ১৯ এর একটি পূর্ণ গুণিতক হবে।
যেমন ধরেন ১১৪। এটা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা যাচাইয়ের জন্য যা করবো-
(১) ১১৪ হতে শেষ ডিজিট বাদ দিয়ে পাবো ১১
(২) ১১ এর সাথে ৯ গুন করে পাই ৯*১১=৯৯
(৩) ৯৯ থেকে বাদ দেয়া ৪ কে বিয়োগ করে পাই ৯৫
(৪) ৯৫ থেকে শেষ ডিজিট বাদ দিয়ে পাবো ৯
(৫) ৯ এর সাথে ৯ গুন করে পাই ৯*৯=৮১
(৬) ৮১ থেকে বাদ দেয়া ৫ বিয়োগ করে পাই ৭৬
....
....
(১৪)৩ এর সাথে ৯ গুনকরে পাই ২৭
(১৫)২৭ হতে শেষ ডিজিট ৮ বাদ দিয়ে পাবো ১৯

তারমানে প্রমাণ হল ১১৪, ১৯ দ্বারা বিভাজ্য। খুবই চমৎকার কার্যকরী উপায়!!!!? সংখ্যাটা যদি আরেক ডিজিট বেশি হয় অর্থাৎ ধরা যাক চার ডিজিটের সবচেয়ে ছোট ১৯ এর গুণিতক হল ১০০৭। এটি ১৯ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা বের করার জন্য মাত্র ১৫৬ ধাপে বের করতে হবে !
আরেকটা শর্টকাট পদ্ধতিতে আসি, এতে সরাসরি ১ ডিজিট বাদ দিয়ে ১৯ এর বিভাজ্যতা বের করা যায়। তা হচ্ছে কোন সংখ্যার শেষ ডিজিটকে বাদ দিলে যে সংখ্যা থাকে তার সাথে শেষ ডিজিটের দ্বিগুন যোগ করলে যে সংখ্যা পাই তা ১৯ বিভাজ্য হলে মূল সংখ্যাটিও ১৯ বিভাজ্য।
যেমন-১০০৭ হতে পাই ১০০+(৭*২)=১১৪=১১+৪*২=১৯!!!

কিছু সংখ্যা আছে যাদের গুণিতক সংখ্যা গঠিত হয় সংখ্যার শেষ একটি বা দুটি ডিজিটের সাধারণ ধর্মের কারনে,যেমন যেসব সংখ্যার শেষ দুই ডিজিট ৪ এর গুণিতক বা ০০ সেই পুরো সংখ্যাটিই ৪ এর গুণিতক হবে। কোন সংখ্যার শেষ ডিজিটটি ০ বা ৫ হলে পুরো সংখ্যাটিই ৫ এর গুণিতক । এদের উদাহরণ:

২: সংখ্যার শেষ ডিজিট জোড় সংখ্যা হলে
৩: সংখ্যার সবগুলো ডিজিটের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , যেমন-১২৩৪৫৬ সংখ্যা ১+২+৩+৪+৫+৬=২১=২+১=৩
৪: শেষ দুই ডিজিট ০০ বা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে,যেমন ১২৩৪৫৬, এখানে ৫৬= ৪*১৪
৫: কোন সংখ্যার শেষ ডিজিট ০ বা ৫ হলে ,যেমন ১২৩৪৫
৬: যেসব জোড় সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য
৭: কোন সংখ্যাকে ডানদিক থেকে ৩টি করে নিয়ে যথাক্রমে যোগ ও বিয়োগ করে যেমন
৮৬৪১৯৭৪৬ হতে৮৬-৪১৯+৭৪৬=৪১৩=৭*৫
কিংবা শেষ ডিজিটকে বাদ দিয়ে বাকি সংখ্যা থেকে শেষ ডিজিটের দ্বিগুন বিয়োগ করে দেখা যায় যদি ৭ এর গুণিতক। ৮৬১> ৮৬-২*১=৮৪=৭*১২
৮: কোন সংখ্যার শেষ তিন ডিজিট যদি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয় ১২৩৪৫৬১২৮ শেষের ৩ ডিজিট ১২৮ যেহেতু ৮ দ্বারা বিভাজ্য সুতারাং পুরো সংখ্যাই ৮ দ্বারা বিভাজ্য
৯: ৩ এর মত, সংখ্যার সবগুলো ডিজিট যোগ করলে ৯ এর গুণিতক হলে , যেমন ১২৩৪৫৬৮=১+২+৩+৪+৫+৬+৮=২৭=৭+২=৯
১১: কোন সংখ্যার ডিজিটগুলো পর্যায়ক্রমে যোগ ও বিয়োগ করে প্রাপ্ত সংখ্যা যদি ১১ এর গুণিতক (বা শূণ্য) হয়, ১৫২৩৩২৫১=১-৫+২-৩+৩-২+৫-১=০ সুতরাং ১৫২৩৩২৫১=১১* ১৩৮৪৮৪১
১৩: সংখ্যাকে ডান হতে ৩টি করে ইউনিট বানিয়ে যথাক্রমে বিয়োগ ও যোগ করে ১৬০৪৯৩৭১ =-১৬+০৪৯-৩৭১=-৩৩৮ (১৩*-২৬)
ইত্যাদি
১৯ এর ক্ষেত্রে কি এমন কিছু আছে-যে শেষে কয়েকটা নির্দিষ্ট ডিজিট বসালে সে সংখ্যা ১৯ এর গুণিতক হবে।
ধরি ১১ এর পরে আমরা এমন কিছু ডিজিট বা সংখ্যা বসাবো যাতে তা ১৯ দ্বারা বিভাজ্য হয়। তাহলে যেটা করতে হবে।
>> ১১ এর সাথে ৯ গুন করি=৯৯>> ৯৯ এর নিকট তম ১৯ এর গুণিতক ৯৫>> ৯৯ থেকে ৯৫ এর পার্থক্য ৯৯-৯৫=৪>> ১১ এর পরে ৪ বসাই=১১৪=১৯*৬
১২ এর পরে বসালে>> ১২*৯=১০৮>> নিকটতম ১৯ এর গুণিতক ১১৪>> ১১৪-১০৮=৬>> ১২৬ কিন্তু ১২৬, ১৯ বিভাজ্য নয়।
১৩ হলে >>১৩*৯=১১৭>> ১১৭এর নিকট তম সংখ্যা ১১৪>>১১৭-১১৪=৩>> ১৩ এর পরে ৩ বসাই=১৩৩=১৯*৭
কিংবা আরেক ভাবে করা যায়,১১ এর পরে কোন সংখ্যা বসালে ১৯ বিভাজ্য হবে তা জানতে ১৯-১১=৮ , ৮ কে ২ দ্বারা ভাগ কের পাই ৪। সুতরাং ১১ এর পর ৪বসিয়ে ১১৪=১৯*৬ পাই।১০০ এর পর বসাতে হবে ১১৪-১০০=১৪, ১৪/২=৭. সুতরাং ১০০৭ একটি ১৯ বিভাজ্য সংখ্যা। লক্ষ্যনীয় প্রত্যেক ক্ষেত্রে সংখ্যার প্রতিটি ডিজিট কে নিয়ে কাজ করতে হচ্ছে।
পাশাপাশি ডিজিট বা সংখ্যা বসিয়ে নতুন ১৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা তৈরির জন্য এর শেষে ইচ্ছেমত কোন সংখ্যা বসানোর কোন উপায় নেই ৪,৫ বা ৮ এর মত। কিংবা সহজ ভাবে ডিজিট গুলোর যোগফল বানিয়ে ৩,৬ বা ৯ এর মতও গুণিতক বানানোর উপায় নেই। ৭,১১ বা ১৩ এর চেয়েও ১৯ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা বানানো কঠিন, ৭ এর ক্ষেত্রে বিষয়টা আলোচনা করলে আরো পরিষ্কার হবে, কোন সংখ্যাকে ডানদিক থেকে ৩টি করে নিয়ে যথাক্রমে যোগ ও বিয়োগ করলে যদি দেখা যায় তা ৭ দ্বারা বিভাজ্য তাহলে সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য যেমন:
৮৬৪১৯৭৪৬ হতে ৮৬-৪১৯+৭৪৬=৪১৩=৭*৫৯। কোন সংখ্যা ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়াও যথেষ্ট কঠিন কিন্তু ৭ এর সুবিধা হল এখানে আমরা কোন বড় সংখ্যাকে কতগুলো ইউনিটে ভাগ করে কাজ করতে পারি এবং এসব ইউনিটের সংখ্যাগুলো যোগফল ঠিক রেখে ইচ্ছে মত বসাতে পারি। ১১ ও ১৩ এর ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

সুতরাং দেখা যাচ্ছে ১৯ এর গুণিতকদের শেষ একটি - দুটি বা নির্দিষ্ট সংখ্যক ডিজিটের এমন কোন সাধারণ ধর্ম নেই যাতে কোন সংখ্যার শেষে নির্দিষ্ট কোন প্যাটার্নের ডিজিট বসিয়ে তাকে ১৯ দ্বারা বিভাজ্য করা যায়।